激光磨皮
第01讲 1.1集合的概念第一部分 思维导图第二部分 知识梳理知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合元素三要素逐个判断即可.【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合．（3）（6）符合集合概念，故选：B知识点02：元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【即学即练2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ）A． B．C． D．【答案】D【知识点】集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可.【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性；当，则，此时集合为，满足；当，即或，（其中舍），若，此时集合为，满足；若，此时集合为，满足；综上，的取值集合为.故选：D知识点03：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。【即学即练3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？(1)一元二次方程的全体实数根组成的集合；(2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合；(3)满足条件和的实数x组成的集合；(4)我国的少数民族组成的集合.【答案】(1)是有限集(2)是无限集(3)是空集(4)是有限集【知识点】集合的分类【分析】（1）利用判别式判断即可；（2）根据二次一次方程的性质分析判断；（3）解不等式组判断；（4）根据有限集的定义判断.【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根，所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集；（2）因为方程有无数组解，所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集；（3）由，得，不等式组无解，所以满足条件和的实数x组成的集合为空集；（4）因为我国的少数民族的个数是有限的，所以我国的少数民族组成的集合为有限集.知识点04：集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，第三部分 题型精讲题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【答案】B【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误；对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误；对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误.故选：B．【典例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数组成的集合中有7个元素D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为【答案】B【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；故选：B.【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ）A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值【答案】C【分析】由集合的概念可得答案.【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误；B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误；C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确；D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误.故选：C【变式2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列对象能构成集合的是（ ）A．某中学所有聪明的学生 B．不小于5的所有自然数C．中国各地的美丽乡村 D．联盟中所有优秀的球员【答案】B【分析】根据集合中元素的确定性判断即可.【详解】根据集合中的元素具有确定性知，某中学所有聪明的学生，中国各地的美丽乡村，联盟中所有优秀的球员，都不能构成集合，不小于5的所有自然数具有确定性，可以构成集合.故选：B【变式3】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数图象上所有的点【答案】ACD【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解.【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.故选：D.【典例2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确．（1）集合与集合表示同一集合；( )（2）集合与集合表示同一集合；( )（3）集合与集合不表示同一集合；( )（4）集合与集合表示同一集合．( )【答案】 正确 错误 错误 错误【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合.【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确；（2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误；（3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误；（4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误；故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【答案】A【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；集合，集合，故C错误；集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.故选：A.【变式3】（多选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）A．，B．C．，D．，【答案】BD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A中，根据集合的无序性可知；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{yy＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．故选：BD．题型03 判断元素与集合的关系【典例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】验证各选项可得答案.【详解】对于A，，A错误；对于BC，，B，C错误；对于D，因为，且，D正确.故选：D【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，结合，化简集合即可求解.【详解】因为，所以或.又，所以，，故.故选：C.【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可.【详解】，所以，，故A，C，D错误，B正确.故选：B．【变式2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段练习）已知集合，若，则（ ）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【答案】A【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案．【详解】∵，∴，，∴，∴.故选：A.【变式3】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.A．. B．.C．若，则. D．若，则.【答案】BC【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，对于，因为，所以，因为，所以，故正确，对于，若，则，故错误，故选：.题型04 根据元素与集合的关系求参数【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）A．1 B．－1 C．3 D．2【答案】AC【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案.【详解】由题意知集合，且，故当时，；当时，，但是时，，违反集合元素的互异性，故m的取值可为1，3，故选：AC【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（）A． B．0 C．3 D．或3【答案】C【分析】由或求得并代入集合检验．【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去．②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，．故选：C．【变式1】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.【详解】由题可知且解得.故选：C.【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解.【详解】根据题意可知集合，且，所以当时满足，且当时满足，联立，解之可得或.实数的取值范围是或.故答案为：【变式3】（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ．【答案】【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可.【详解】解：因为，当，即时，此时，不满足元素的互异性；当，即时，此时，满足题意；当，即时，此时无解；综上，.故答案为：题型05 根据集合元素互异性求参数【典例1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ）A．1 B． C． D．2【答案】ABD【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可.【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错；当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错；当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对；当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错.故选：ABD【典例2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ．【答案】【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】由元素的互异性求解即可.【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且．故答案为：【变式1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（ ）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】根据集合中元素的互异性求解.【详解】集合，则，解得，知BD符合.故选：BD.【变式2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ．【答案】1【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意.【详解】因为集合中的最大元素为3，所以,所以或.当时，不合题意舍；当时，不符合集合的互异性舍；当时，集合中的最大元素为3；所以.故答案为：1.【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围．【答案】且【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围．【详解】，得综上，且即的取值范围为且题型06 列举法【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案.【详解】方程的解为，所以，，都可以表示该方程的解集，表示的是含有点的集合．故选：C【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 .【答案】【知识点】列举法表示集合【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论.【详解】因为，所以为的正约数，且，所以或或或，所以或或或，所以.故答案为：.【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可.【详解】由题意可得：集合.故选：B．【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 .【答案】【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解.【详解】当取时，对应的值为，所以.故答案为：.【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）用列举法表示集合 ．【答案】【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合．【详解】集合所以可以取的值为，1，2，3，所以．故答案为：．题型07 描述法【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合：(1)方程的解构成的集合；(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；(3)不等式的解构成的集合；(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解构成的集合．【答案】(1)(2)且(3)(4)(5)或【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可.【详解】（1）由，解得或，所以方程的解构成的集合可表示为；（2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且；（3）由，解得，则不等式的解构成的集合可表示为；（4）大于且不大于的自然数有，，，，，，所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为；（5）由，解得，所以方程组的解构成的集合可表示为或；【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案.【详解】（1）由得，，解得，，所以集合为；（2）由，得x为，，0，1，2，当或时，；当或时，；当时，．所以集合为；（3）；（4）解不等式得，所以不等式的解集可表示为．【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 【答案】【知识点】描述法表示集合【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可.【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 .故答案为：.【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线)【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解.（2）由奇数的概念以及描述法即可求解.（3）由描述法即可求解.（4）用列举法即可求解.【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合.（2）所有奇数组成的集合.（3）平面直角坐标系中，抛物线高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)；(4)不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)；(4)【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】（1）（2）根据描述法写出；（3）根据描述法及列举法求解；（4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可.【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为：（2）正偶数的集合用描述法表示为：（3）．（4）由解得，所以不等式的解集为．题型08两个集合相等问题 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （ ）.A．或 B． C． D．或【答案】D【知识点】根据集合相等关系进行计算【分析】根据集合相等可得，运算求解即可.【详解】因为，且，则，解得或.故选：D.【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ．【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值.【详解】∵，显然，所以，∴.根据集合中元素的互异性得，∴.∴故答案为：【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .【答案】0【知识点】根据集合相等关系进行计算【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【详解】由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以.故答案为：0.【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 .【答案】1【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果.【详解】因为，可知，可得，则，解得，若，则，不合题意；若，则，符合题意；综上所述：，.所以.故答案为：1.【变式3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 .【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.【详解】①当时，解得，当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；当时，，得到与矛盾，所以舍去；②当时，解得，当时，，得到与矛盾，所以舍去；当时，，得到，符合题意，所以.故答案为：.题型09 根据集合中元素的个数求参数【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．(1)若集合中只有一个元素，求实数的值；(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围；(3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)或．(3)且．【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）由，两种情况讨论即可；（2）由（1），再结合中没有元素讨论即可；（3）由求解即可.【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，原方程为一元二次方程，故当，即时，原方程的解为，符合题意．综上，当或时，集合中只有一个元素．（2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素．当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或．当中没有元素时，，且，即．综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或．（3）由题意得，且，所以且，故实数的取值范围是且．【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.【答案】(1)，且(2)(3)答案见解析【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可；（2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可；（3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零.【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且.（2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得.（3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根.当时，方程的根为；当时，令，解得，此时.综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素.【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 .【答案】或【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求，当时，需要，解得，综上，或.故答案为：或【变式2】（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一个元素，求的取值范围；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．【答案】(1)(2)或时，(3)或【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）将代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当时只有一个元素，当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．中最多有一个元素，或【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合.(1)当时，中只有一个元素，求的值；(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)(2)或【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得；（2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算.【详解】（1）当时，，由中只有一个元素，则有，解得；（2）当时，，由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素，当时，，符合要求；当时，对有：，解得；综上所述：或.题型10 常见数集或数集关系的应用【典例1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案.【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，由，，，，可得ABC错误，D正确.故选：D.【典例2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AB【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系【分析】根据常用数集的符号判断元素是否属于集合.【详解】对于选项，为实数，即，则正确；对于选项，为无理数，不是有理数，即，则正确；对于选项，为负整数，不是正整数，即，则错误；对于选项，是无理数，不是整数，即，则错误；故选： .【变式1】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可.【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误；选项B：表示有理数集，所以，说法错误；选项C：表示整数集，所以，说法正确；选项D：表示自然数集，所以，说法错误；故选：C【变式2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系【分析】根据各个符号表示的含义及元素与集合的关系逐个分析判断即可.【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确，B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误，C.因为0不是正整数，所以，选项C错误，D.因为为无理数，所以，选项D错误.故选：A【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）判断下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AD【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系【分析】由常见数集符号定义可得答案.【详解】A选项，是无理数，也是实数，故，A正确；B选项，是无理数，不是有理数，故，B错误；C选项，是整数，故，C错误；D选项，0是自然数，故，D正确.故选：AD.题型11 新定义题【典例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出.【详解】对于，有，所以；因为，则或，而是方程的根，当时，故，而不是方程的根，故是方程的唯一根，则，经检验，当时满足；当时，则方程有三个不同根，则当满足，即，当，则满足；当，则满足；当满足，即，必有为方程的根，即，得，当时，则满足；当，则满足；则，故.故选：A.【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 .【答案】30【知识点】集合新定义【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组．【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足，可得消去，并整理得，所以（舍去），，于是有．在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对，所以必为2的倍数，且，，故这样的数对共30组．故答案为：．【变式1】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）A．若，则具有性质 B．若，则具有性质C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质【答案】BCD【知识点】集合新定义【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可．【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G ,当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义，如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合，比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项，将整数分成这10类，依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类，分两类情况，如果七个属于的集合各不相同，比如，那么肯定是10的倍数，且，满足的定义，如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合，比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义，故D正确．故选：BCD.【变式2】（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 .①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数【答案】②③④【知识点】集合的分类【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案.【详解】由于，设，得，两式相减得，解得，于是得，故③正确；因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确；无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确．故答案为：②③④．【变式3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ．【答案】【知识点】判断元素与集合的关系【分析】对的非空子集进行分类讨论，即分满足和满足讨论即可得解.【详解】可设的非空子集为，又把这样的子集分为两类：（1）一类满足，这样的非空子集的“均值”的算术平均数为；（2）另一类满足，此时可把两个非空集合与配对，易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集，它们的最大数与最小数之和是，所以此时非空子集的“均值”的算术平均数为.综上，的所有非空子集的“均值”的算术平均数为，故答案为：方法1分类讨论法【典例1】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（ ）A．0 B．0或1 C．1 D．0或【答案】B【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】分类讨论方程根的个数即可.【详解】当时，；当时，则，解之得，此时，所以或1．故选：B．【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出中其他所有元素．(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．【答案】(1)中其他所有元素为，，2；(2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，．【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素；（2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素．【详解】（1）由题意可知：，则，，，，所以中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是的元素，取，则，，，，所以当，中的元素是：3，，，．【变式1】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 .【答案】0或【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】由方程只有一个解或两个相等的实根求解可得．【详解】当时,，得，符合题意；当时，，得.故或.故答案为：或．【变式2】（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值．【答案】或【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】分与讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得．【详解】解：若，则，此时，，成立；若，则；此时，，故成立；故实数或．【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围．【答案】或【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可.【详解】因为集合中至多有一个元素，当时，，符合题意；当时，则，解得；综上所述：k的取值范围或.第四部分 题型精练A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（ ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定.【详解】因为，所以．又因为，所以，所以．故选：B.2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围.【详解】由且，得，解得．故选：A3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可.【详解】若，则，符合题意；若，则变为，显然不成立，则，不符合题意；当，即时，则，解得（舍）或，所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为．故选：D4．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【知识点】根据集合相等关系进行计算【分析】根据集合的互异性求出和即可.【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，若，解得，此时，不满足集合的互异性；若，解得（舍）或，当时，，符合题意，所以，所以.故选：B5．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）A．，或 B．C． D．【答案】D【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】解方程组，用集合表示即可判断.【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为，而.故选：D.6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ）①，②， ③，④ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可.【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；对于③，因为是自然数，所以，所以③正确；对于④，因为是无理数，所以，所以④错误.故选：B.二、多选题7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为{为所有实数}或C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为D．集合与是同一个集合【答案】BD【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等、常用数集或数集关系应用【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误.【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确；对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼，另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确；对于D，集合为的取值集合，为数集，集合表示抛物线上点的集合，为点集，所以两个集合不是同一个集合，故D错误．故选：BD8．（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BC【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】由，讨论即可．【详解】当，，满足条件；当，由，则得，此时只有一个元素，所以当或时，集合中只有一个元素.故选：BC三、填空题9．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．【答案】3【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.【详解】因为，所以分为以下两种情况：①或，当时，集合满足题意；当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；综上所述，.故答案为：3.10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ．【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性.【详解】∵，∴或，解得或，当时，不满足集合的互异性，故舍弃，当时，，符合题意，所以.故答案为：．B能力提升 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误.【详解】A选项，因为，可设，，所以，即，故A错误；B选项，因为，所以，故B错误；C选项，因为，其中，所以，故C正确；D选项，因为，其中，所以，故D错误．故选：C2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.【详解】因为，所以．又，所以，所以可能的取值为，分别代入可得，所以集合A有6个元素．故选：D3．（多选）（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、常用数集或数集关系应用【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可.【详解】因为，可设，，，选项A，，则，故A正确；所以，则，故B正确；所以，其中，则，故C错误；所以，其中，则，故D正确.故选：ABD.4．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 .【答案】【知识点】集合新定义【分析】应用定义，推导出集合中的数是6的倍数.【详解】由对任意给定的（可以相同），有且，又6是集合中的最小正整数，则也在集合里，假设里有形如，那么，与6是集合中的最小正整数矛盾，故答案为： C综合素养1．（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”.(1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；(2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”；(3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”.【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析(2)证明见解析(3)且【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义【分析】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论；（2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论；（3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可.【详解】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”；对于集合，不妨令，当时，，；当，时，，；当，时，，；当，时，，；对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”.（2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，，，，，，有限集合是“坏集”.（3）当且时，，，是“超级好集”；下面证明：集合中不可能存在其他元素.由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素，若，且为中大于的元素中最大的元素，此时，，不是“超级好集”；若，且为中小于的元素中最大的元素，此时，，不是“超级好集”；中不可能存在其他元素.满足题意的“超级好集”且.2．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则．(1)求证：若，则；(2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合中至少有三个不同的元素．【答案】(1)证明见解析；(2)集合中必含有两个元素；(3)证明见解析.【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明；（2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素；（3）设,且,则，，令及即可证明.【详解】（1）若，则,与矛盾，故.因为，所以，由，则，可得，即，故若，则.（2）由，得；由，得；而当时，，…，因此当时，集合中必含有两个元素.（3）设,由（1）且,则，.令，化简可得,因为,所以方程无解，即.令，化简可得，同理无解，即，所以集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司$$第01讲 1.1集合的概念第一部分 思维导图第二部分 知识梳理知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．A．2 B．3 C．4 D．6知识点02：元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【即学即练2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ）A． B．C． D．知识点03：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。【即学即练3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？(1)一元二次方程的全体实数根组成的集合；(2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合；(3)满足条件和的实数x组成的集合；(4)我国的少数民族组成的集合.知识点04：集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，第三部分 题型精讲题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【典例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数组成的集合中有7个元素D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ）A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值【变式2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列对象能构成集合的是（ ）A．某中学所有聪明的学生 B．不小于5的所有自然数C．中国各地的美丽乡村 D．联盟中所有优秀的球员【变式3】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数图象上所有的点题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）A．， B．，C．， D．，【典例2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确．（1）集合与集合表示同一集合；( )（2）集合与集合表示同一集合；( )（3）集合与集合不表示同一集合；( )（4）集合与集合表示同一集合．( )【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（ ）A．， B．，C．， D．，【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【变式3】（多选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）A．，B．C．，D．，题型03 判断元素与集合的关系【典例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（ ）A． B． C． D．【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）A． B． C． D．【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段练习）已知集合，若，则（ ）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【变式3】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.A．. B．.C．若，则. D．若，则.题型04 根据元素与集合的关系求参数【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）A．1 B．－1 C．3 D．2【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（）A． B．0 C．3 D．或3【变式1】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 .【变式3】（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ．题型05 根据集合元素互异性求参数【典例1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ）A．1 B． C． D．2【典例2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ．【变式1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（ ）A．2 B．3 C． D．5【变式2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ．【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围．题型06 列举法【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（ ）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 .【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（ ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 .【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）用列举法表示集合 ．题型07 描述法【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合：(1)方程的解构成的集合；(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；(3)不等式的解构成的集合；(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解构成的集合．【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)不等式的解集．【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)；(4)不等式的解集．题型08两个集合相等问题 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （ ）.A．或 B． C． D．或【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ．【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 .【变式3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 .题型09 根据集合中元素的个数求参数【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．(1)若集合中只有一个元素，求实数的值；(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围；(3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围．【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 .【变式2】（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一个元素，求的取值范围；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合.(1)当时，中只有一个元素，求的值；(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.题型10 常见数集或数集关系的应用【典例1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【典例2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）A． B．C． D．【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）判断下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．题型11 新定义题【典例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）A．5 B．3 C．2 D．1【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 .【变式1】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）A．若，则具有性质 B．若，则具有性质C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质【变式2】（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 .①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数【变式3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ．方法1分类讨论法【典例1】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（ ）A．0 B．0或1 C．1 D．0或【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出中其他所有元素．(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．【变式1】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 .【变式2】（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值．【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围．第四部分 题型精练A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（ ）A． B． C． D．2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）A． B．-1 C．1 D．4．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（ ）A． B．0 C．1 D．25．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）A．，或 B．C． D．6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ）①，②， ③，④ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为{为所有实数}或C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为D．集合与是同一个集合8．（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2三、填空题9．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ．B能力提升 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（ ）A． B． C． D．2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．63．（多选）（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（ ）A． B．C． D．4．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . C综合素养1．（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”.(1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；(2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”；(3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”.2．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则．(1)求证：若，则；(2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司$$
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